(p-1)/2 Faktöriyel

Yakın bir zamanda MathOverflow sitesinde ilginç bir soru ile karşılaştım. Eger p\equiv 3 \pmod{4} ise

\left(\frac{p-1}{2}\right)! \pmod{p}

nedir? Wilson Teoremi, p bir asalsa

(p-1)! \equiv -1\pmod{p}

denkliğini verir. Kolay bir hesaplamayla sorunun cevabının \pm 1 olması gerektiğini hemen görüyoruz. İnsanı şaşırtan bu değerin K=\mathbb{Q}(\sqrt{-p}) cisminin sınıf sayısı h_p‘ye bağlı olması!

Dirichlet’in sınıf sayısı formülü

\sum_{n=1}^{(p-1)/2}\left(\frac{n}{p}\right) = \left(2-\left(\frac{2}{p}\right)\right)h_p

eşitliğini verir. Bu eşitlikte p\equiv 3 \pmod{8} ve p\equiv 7 \pmod{8} durumları ayrı ayrı analiz edilerse, p>3 için aşağıdaki şaşırtıcı sonuç çıkıyor

\left(\frac{p-1}{2}\right)! \equiv (-1)^{(h_p+1)/2} \pmod{p}.

İspatın detayı MathOverflow‘da mevcut.

Reklamlar
Bu yazı Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s