Pell Denklemi ve Sürekli Kesirler

Diyelim ki

x^2-19y^2 = 1

denkleminin tamsayı çözümlerini bulmak istiyoruz. Bu çözümler \mathcal{O} = \mathbb{Z}[\sqrt{19}] halkasının birim elemanlarına denk gelir. Minkowski Teoremi bir u için

\mathcal{O}^* = \{ \pm u^n : n\in\mathbb{Z}\}

olduğunu söyler. Pell Denklemi’nin çözüm kümesini geren bu temel birim elemanı bulmanın çeşitli yolları vardır. Bunlardan bir tanesi, sürekli kesirler tarafından verilen çözümdür.

Bunun için ilk olarak \sqrt{19} sayısını sürekli kesirler kullanarak yazarız:

\sqrt{19} = 4 + \cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{8+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cdots}}}}}}}}

Tam sonuca ulaşmak için sonsuza dek devam etmek gerekir. Yalnız ilginç bir şekilde uzunluğu altı olan

2,1,3,1,2,8

dizisi sürekli olarak  ortaya çıkar. Bu \sqrt{19}‘a özel bir durum değil. Herhangi bir diğer karekök de periyodik bir biçimde yazılabilir! Yukarıda bahsettiğimiz u elemanını bulmak için yapmamız gereken baştan altı terimi alıp, buna karşılık gelen

\frac{170}{39}

kesrini bulmaktır. Birim eleman u=170+39\sqrt{19} olarak hesaplanır ve kolayca görülebilir ki (170,39) ikilisi

170^2 - 19\cdot39^2 = 1

bir tane çözüm verir. Diğer çözümlerin hepsi u‘nun kuvvetleri hesaplanarak bulunabilir.

Reklamlar
Bu yazı Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s