Dik Üçgenler ve Eliptik Eğriler

Açılarından biri dik olan üçgene dik üçgen denir ve bu üçgenlerin kenarları çok iyi bilinen a^2 + b^2 = c^2 ilişkisini sağlar. Bir eliptik eğri ise y^2 = x^3 + Ax + B denkleminin çözüm kümesi olarak düşünülebilir.

Aşağıdaki soru dik üçgenler ve eliptik eğriler gibi iki ayrı dünyayı şaşırtıcı bir şekilde birbirine bağlar.

Soru: Verilen bir d doğal sayısı için, kenarları rasyonel, alanı ise d olan bir diküçgen bulunabilir mi?

Mesela 3, 4, 5 dik üçgeninin alanı  6‘dır. O yüzden d=6 için sorumuzun cevabı olumlu olacaktır. Peki kenarları farklı olup da, aynı alanı veren başka dik üçgenler var mıdır? Bu soruyu ele alan Fermat aşağıdaki formülü bulmuştur:

\left( \frac{2abc}{b^2-a^2}, \frac{b^2-a^2}{2c}, \frac{c^4+4a^2 b^2}{2(b^2-a^2)c} \right)

Alanı d, kenarları rasyonel olan bir dik üçgen bulduğumuz zaman bu formül sayesinde sonsuz tane yeni üçgen üretmemiz mümkündür. Mesela Fermat’nın formülünde a=3, b=4 ve c=5 koyarsak, aşağıdaki üçlüyü buluruz:

\left( \frac{120}{7}, \frac{7}{10}, \frac{1201}{70} \right)

Böyle bir formülün varlığı Fermat’ya sihir gibi gelmiş olabilir, ama modern matematikte bunun çok açık bir sebebi vardır. Bu sebebi anlamak için aşağıdaki teoremi ele alalım.

Teorem: Hiçbir kare sayının bölmediği d doğal sayısı için yukardaki sorunun cevabı ancak ve ancak

E_d : y^2 = x^3 - d^2 x

denkleminin y‘si sıfır olmayan rasyonel bir çözümü varsa olumludur.

E_d denklemi bir eliptik eğri tanımlar ve bu eğrinin üzerinde bir değişmeli grup yapısı kurmak mümkündür. Fermat’nın bulduğu formül bu grup yapısında 2-ile-çarpma işleminden başka birşey değildir.

Ünlü bir sanıyı sorumuz için tercüme eder ve biraz da basitleştirirsek şunu elde ederiz:

Sanı (Birch and Swinnerton-Dyer) Eliptik eğri E_d‘nin  sonsuz tane çözümü ancak ve ancak L(E_d,1) = 0 ise vardır.

E_d üzerinde sonsuz tane çözümün, L(E_d,1) = 0 olmasını gerektirdiği Coates ve Wiles tarafından gösterildi ama bunun tersi hala açık bir problem.

Reklamlar
Bu yazı Eliptik Eğriler, Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s