Pisagor Üçlüleri ve Fermat’nın Sonsuz İnişi

Matematik tarihinin ispatlanması en uzun zaman alan teoremlerinden biri Fermat’nın Son Teoremi olmuştur. Çok sayıda yanlış argümanın ardından, 1995 yılında Andrew Wiles tarafından ispatlanmıştır.

Fermat bu sanıyı ortaya attığında, çok güzel bir ispatı olduğunu iddia etmiş ama kağıdın kenarına sığmadığı için bunu yazamayacağını söylemişti. Genel durumda Fermat’nın aklından ne geçtiği bilmiyoruz ama n=4 durumu için, Fermat’nın matematik klasikleri arasına girmiş bir çözümü vardır. Bu çözümü, yani “Fermat’nın sonsuz inişi”ni, açıklamak için öncelikle Pisagor üçlülerini anlamamız gerekiyor.

Bir dik üçgenin kenarları çok iyi bilinen a^2 + b^2 = c^2 ilişkisini sağlar, ve bu ilişkiyi sağlayan (a,b,c) üçlülerine, Pisagor üçlüleri denir. \text{OBEB}(a,b,c)=1 olacak şekilde birbirinden bağımsız üçlüleri bulmak istiyoruz.  Bunun için denklemimizin sol tarafını Gauss tamsayılarında çarpanlara ayırarak başlayabiliriz

(a+bi)(a-bi)=c^2.

Gauss tamsayılarında çarpanlara ayırmanın eşsiz olduğunu biliyoruz. \text{OBEB}(a,b,c)‘nin bir olduğunu kullanarak, a+bi ve a-bi‘nin her ikisinin de bir birim eleman çarpı tam kare olması gerektiğini görebiliriz. Yani

a+bi = u(m+ni)^2

olmalıdır. Burada u birim elemanın alabileceği değerler \{ \pm 1,\pm i \} kümesinin bir elemanıdır. Sonuç olarak

\pm a = m^2 - n^2, \ \ \ \pm b=2mn,\ \ \ \pm c=m^2 + n^2

aradığımız bütün pisagor üçlülerini verecektir.

Şimdi Fermat’nın sonsuz inişini açıklayabiliriz. Diyelim ki x^4 + y^4 = z^4 denkleminin tam sayılarda xyz = 0 olmayacak şekilde bir çözümü vardır. O zaman (x,y,z^2) üçlüsü

x^4 + y^4 = t^2

denklemini sağlar. x, y, t tamsayılarının pozitif ve \text{OBEB}(x,y,t)=1 olduğunu varsayabiliriz. Doğal sayılardaki en küçük eleman seçebilme özelliğini kullanıp t değeri en küçük olan bir çözüm alalım. Herhangi bir Pisagor üçlüsünün nasıl yazacağımızı biliyoruz. Bu yüzden

x^2 = m^2-n^2, \ \ \ y^2=2mn, \ \ \ t=m^2+n^2

olur. Buradan x^2+n^2 = m^2 elde ederiz ve Pisagor üçlüleri teoremini tekrar uygularız. Bu da bize

x=a^2-b^2, \ \ \ n=2ab, \ \ \ m=a^2+b^2

verir. Son bulduklarımızı, bir önceki bulduklarımızla harmanlarsak y^2 = 4ab(a^2+b^2) olması gerektiğini görürüz. Şimdi y=2k olsun, o zaman k^2 = ab(a^2+b^2) olacaktır. a,b,a^2+b^2 aralarında asal oldukları ve çarpımları da tam kare olduğu için her biri kare olmalıdır

a=c^2, \ \ \ b=d^2,\ \ \ a^2+b^2=e^2.

Buradan görürüz ki c^4 + d^4 = e^2 ama e<t‘dir. Bu t‘nin en küçük olma özelliği ile ters düşer. O yüzden x^4 + y^4 = z^4 denkleminin xyz = 0 olmayacak şekilde bir çözümü olmadığı sonucuna ulaşırız.

 

Reklamlar
Bu yazı Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s