Lyapunov Fonksiyonu ve Stabilite

Herhangi bir diferansiyel denklemin çözümlerini anlamak için yapmak gereken ilk şey, varsa, sistemin sabit noktalarını (kritik noktaları) bulmaya calışmaktır. Diyelim ki, aşağıdaki gibi otonom bir diferansiyel denklemimiz var:

\dot{x}=f(x)

Başlangıç durumunda (t=0), çözümümüzün değeri bizim belirleyebileceğimiz herhangi bir sabit sayı olsun:

x(0)=c

Bu sistemin  sabit noktaları f(x)=0 denkleminin çözümleridir. Mesela, \dot{x}=-x sisteminin tek bir sabit noktası vardır: x^*=0. Eğer sisteminizi bu noktadan başlatırsanız (c=0), çözümünüz zamandan bağımsız daima sıfır olarak kalacaktır (x(t)=0). Ancak daha ilginci, sisteminizi istediğiniz başka bir değerden başlatırsanız (mesela c=5,10 ya da 100), çözümünüz zaman ilerledikçe sıfıra yakınsar (x(t) \rightarrow 0). Eğer denkleminizin çözümlerini açık bir şekilde görebiliyorsanız bu çok da şaşırtıcı değildir. Mesela, örnek denklemimizin çözümleri x(t)=ce^{-t} şeklindedir ve c‘yi ne seçersek seçelim çözüm sıfıra yakınsar.

Ancak, verilen bir diferansiyel denklemin açık cözümlerini bulmak genelde zordur ve bu gibi durumlarda sistemin çözümlerinin zaman sonsuza giderken nasıl davrandığını anlamaya calışmak, sistem hakkında oldukça fazla bilgi verebilir. Yukarıdaki orneğimizde, sabit nokta olan x^*=0 sistem için oldukça önemli çünkü bütün çözümler bu sabit noktaya yakınsamakta. Bu bilgiyi diferansiyel denklemi çözmeden bulmak isterseniz, Lyapunov fonksiyonunu kullanmanız gerekmekte.

Bu method Rus matematikçi Aleksandr Mikhailovich Lyapunov tarafindan bulunmuş ve onun doktora tezinde yer almistir (1892). Lyapunov fonksiyonu V:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} asagidaki şekilde tanımlanır. U, sıfırın açık bir komşuluğu olmak üzere:

1. V(0)=0,

2. V(x)>0 \hspace{2mm} \forall x\in U\setminus\{0\},

3. \dot{V}(x)=\frac{\partial V}{\partial x}\dot{x} < 0 \hspace{2mm} \forall x\in U\setminus\{0\}.

Mesela, örneğimizdeki \dot{x}=-x sistemi için, Lyapunov fonksiyonu olarak V(x)=x^2‘yi seçebiliriz çünkü,

\dot{V}(x)=\frac{\partial V}{\partial x}\dot{x}=2x\cdot (-x)=-2x^2<0 \hspace{2mm} \forall x\in \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Lyapunov Stabilite Teoremi, bu şekilde bir fonksiyon bulunabiliyorsa sistemimizin U kümesinden başlayan tüm çözümlerinin sıfır noktasına yakınsayacağını söyler. Bu teoremin ispati pek cok diferansiyel denklem kitabında bulunabilir ama kısa şekilde açıklamak gerekirse sistemimizin çözümleri zaman sonsuza giderken bu “huni” şeklindeki Lyapunov fonksiyonu üzerinde aşağıya dogru ilerler (türev negatif olduğundan-3. kosul), ta ki sıfır noktasına ulaşıncaya dek. Sıfır noktası bir anlamda sistem için çekici (attractor) olur.

Not: A.M. Lyapunov (1857-1918) diferansiyel denklemler, dinamik sistemler, matematiksel fizik ve olasılık teorisi gibi pek çok konuda, önemli çalışmalara imza atmıştır. Malesef, o da hayata trajik bir şekilde veda eden matematikçilerdendir. Eşi N.R. Lyapunova 18 Ekim 1918’de tüberkulozdan vefat etmiş, 3 gün sonra da Lyapunov’un cansız bedeni eşiyle birlikte gömülmek arzusunu ifade eden bir mektup ile birlikte bulunmuştur.

Reklamlar
Bu yazı Diferansiyel Denklemler, Dinamik Sistemler içinde yayınlandı ve , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s