Galois Teorisi Nedir?

Matematik tarihinde Galois’dan daha trajik bir karakter olmamıştır sanırım. Ortaya koyduğu muhteşem teori çağdaşları tarafından anlaşılamadan, 20 yaşında, bir düelloda hayata gözlerini yummuştur.

Galois’in ortaya attığı teori, cisim genişlemeleri ve grup teorisi arasında doğal bir bağlantı kurar. Bu bağlantı sayesinde cisim genişlemeleri ile ilgili bir soruyu grup teorisi kullanarak çözmek mümkün olur.

\begin{tabular}{c} \text{Cisimler teorsinde}\\ \text{ilgin\c{c} bir soru} \end{tabular}  \xrightarrow{\ \ \text{Galois Teorisi}\ \ }  \begin{tabular}{c} \text{Gruplar teorisinde}\\ \text{\c{c}\"{o}z\"{u}lebilir bir soru} \end{tabular}

Galois Teorisi’nin en güzel uygulamalarından birisi, polinom denklemlerinin radikaller ile çözülebilip çözülemediği sorusuna verdiği cevaptır.

Herhangi bir denklemin köklerini karekök, küpkök, vb… sayılar kullanarak  yazabiliyorsa, o denkleme radikaller ile çözülebilir denklem deriz. Örneğin x^6 - 2x^3-1 = 0 denkleminin bir kökü \sqrt[3]{1+\sqrt{2}}‘dir ve diğer kökler de benzer şekilde bulunabilir. O yüzden bu denklem radikaller ile çözülebilir bir denklemdir.

Peki ama bütün denklemler radikaller  aracılığıyla çözülebilir mi? Mesela ikinci derece bir denklemin, yani ax^2 + bx + c=0 denkleminin, radikaller cinsinden çözümünün

x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

olduğunu biliyoruz. Daha karmaşık olmasına rağmen üçüncü ve dördüncü derece denklemler için de benzer çözümler bulunabiliyor. Ama bir sonraki adım olan beşinci derece denklemler, matematik dünyasını epeyce meşgul etmiş, uzunca bir süre olumlu ya da olumsuz bir cevap vermek mümkün olmamıştır. Ta ki Galois bu soruya el atana kadar.

Galois verilen bir polinom denkleminin köklerini “uygun” bir şekilde yer değiştiren permutasyonları kullanmıştır. Burada uygundan kasıt köklerin sağladığı ilişkilerin bozulmamasıdır. Mesela

f(x) = (x^2+1)(x^2-5)=0

denkleminin kökleri \alpha_{1,2} = \pm i ve \beta_{1,2} = \pm\sqrt{5}‘i düşünürsek, \alpha_i^2+1=0 ve \beta_i^2-5=0 ilişkilerininin sağlandığını görürürüz. Bu yüzden \alpha_i ve \beta_i‘leri aralarında yer değiştiren permutasyonlar kabul edilebilirken, \alpha_1 ile \beta_1‘i yer değiştiren bir permutasyon kabul edilmiyecektir. Sonuç olarak bu polinom denklemi için 24 olası permutasyondan sadece  4’ü uygun olacaktır

G= \{e, (\alpha_1 \alpha_2), (\beta_1 \beta_2), (\alpha_1 \alpha_2)(\beta_1 \beta_2)\}.

Bu oluşan gruba, f(x) polinomunun Galois grubu denir ve f(x)=0 denkleminin kökleri hakkında çok önemli bilgiler verir. Örneğin, verilen bir polinom denkleminin radikaller ile çözülüp çözülemeyeceğini anlamak için, o polinoma karşılık gelen Galois grubuna bakmak yeterli olacaktır. Eğer Galois grup değişmeli bir zincir şeklinde yazılabiliyorsa (solvable ise), o zaman denklem de radikaller ile çözülebilirdir (solvable’dır).

Mesela x^5 - x - 1 = 0 denklemini ele alırsak, Galois grubun her türlü permutasyonu içerdiğini gösterebilirz. Bu da G \cong S_5 olması demektir. Ama simetrik grup S_5‘i değişmeli bir zincir şeklinde yazmak mümkün değildir. Yani sonuç olarak bu denklemi radikaller kullanarak çözmek mümkün değildir.

Reklamlar
Bu yazı Cisimler Teorisi, Galois Teorisi içinde yayınlandı ve , , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s