1729 (Taksi Numarası)

Ramanujan hastanedeyken Hardy ziyaretine gider ve gelirken bindiği taksinin numarasının çok sıkıcı bir sayı olan 1729 olduğunu söyler. Ramanujan buna itiraz eder ve 1729 sayısının iki pozitif kübün toplamı olarak, iki değişik şekilde yazılabilecek en küçük sayı olduğunu açıklar:

1729 = 9^3+10^3 = 1^3 + 12^3.

Bu iki eşitlik bize aslında x^3 + y^3 = 1729 denkleminin tamsayılarda iki değişik çözümü olduğunu verir. Benzer şekilde

15170835645 = 2468^3+517^3 = 2456^3+709^3 = 2152^3 +1733^3.

olur. Peki ama genelde bu mümkün müdür?

Soru: Verilen bir n sayısı için iki kübün toplamı olarak n değişik şekilde yazılabilecek sayılar her zaman var mıdır?

Bunu anlamak için x^3 + y^3 = a eşitliğini sağlayan tam sayıları ele alalım ve aşağıdaki değerleri tanımlayalım

X=12a\frac{1}{y+x} \text{ ve }Y=36a\frac{y-x}{y+x}.

Bu rasyonel sayıların

E_a: Y^2 = X^3 - 432a^2

denklemini sağladığını görürüz. E_a bir eliptik eğridir ve rasyonel çözümler kümesi E_a(\mathbb{Q}) sonlu sayıda eleman tarafından gerilir. Bu sonlu sayıya r(E_a) diyelim.

Yukarıda verdiğimiz soruya olumlu bir cevap verebilmek için r(E_a)‘nın yeterince büyük olması gerekir. Diğer bir taraftan bunun, hatta daha basit bir durumun, ispatını yapmak henüz mümkün olmamıştır.

Sanı: Verilen bir doğal sayı n için, öyle bir eliptik eğri E buluruz ki r(E) > n olur.

Bu sanının ispatı şu an için oldukça zor görünmektedir. Ama bu sanıyı destekleyecek hesaplamalar yapılabiliyor. Bu doğrultuda, E_a durumuna özelleşen bir makale arXiv’da bulunabilir.

Reklamlar
Bu yazı Eliptik Eğriler, Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s