Sınıf Sayısının Kısa Bir Tarihçesi

Cebirsel sayılar teorisi denince akla gelen başlıca değişmezler, derece, diskriminant ve sınıf sayısı olarak sıralanabilir. Ama bunlardan sınıf sayısı diğerlerine göre daha gizemlidir.

Sınıf sayısı ile ilgili ilk hesaplamaları Fermat’nın yaptığını söylemek yanlış olmaz. Verilen bir asal sayının iki kare toplamı olarak yazılabilmesi ancak ve ancak p=2 veya p=1\pmod{4} iken mümkündür. p = x^2 + ny^2 denklemini n=2,3 için ele alan Fermat, benzer şekilde

p=x^2+2y^2 \Longleftrightarrow p=2 \text{ veya } p=1,3\pmod{8},

p=x^2+3y^2 \Longleftrightarrow p=3 \text{ veya } p=1\pmod{3}

olduğunu görmüş ve bunlar için sağlam ispatları olduğunu iddia etmiştir.

Bunun sonrasında Euler, Fermat’nın doğru olduğunu iddia ettiği yukarıdaki teoremleri ispatlamış ve n=5 için yeni sanılar ortaya atmıştır:

p=x^2+5y^2 \Longleftrightarrow p=5 \text{ veya } p=1,9\pmod{20},

2p=x^2+5y^2 \Longleftrightarrow p=5 \text{ veya } p=3,7\pmod{20}.

Hem Fermat’ya, hem de Euler’e gizemli gelen bu soru diğer bir çok matematikçinin de kafasını kurcalamıştır. Soruyu daha iyi anlayabilmek için Lagrange yeni bir terminoloji geliştirmiş ve ikinci derece formlar

ax^2 + bxy + cy^2

teorisinin temelini atmıştır. Legendre bir adım daha ileri giderek bu formların kompozisyonu üzerinde durmuş, ama “güzel” bir çözüme ulaşmayı başaramamıştır.

Legendre’ın kompozisyon fikrini geliştiren Gauss diskriminantı d olan düzgün ikinci derece formların bir grup yapısı oluşturduğunu keşfetmiştir. Sonlu sayıda elemanı olan bu grubun eleman sayısı, sınıf sayısıdır.

Gauss’un hesaplarını anlamak için n=5 durumundaki, diskriminantı -20 olan, iki temel formu x^2 +5y^2‘yi ve 2x^2 + 2xy + 3y^2‘yi düşünelim.  Gauss aşağıdakine benzer hesaplar yapmıştır:

( 2x^2 + 2xy + 3y^2)( 2z^2 + 2zw + 3w^2) =(2xz+xw+yz+3yw)^2+5(xw-yz)^2.

Bu hesap bize 2x^2 + 2xy + 3y^2 formunun derecesinin iki olduğunu gösterir. Euler’in sanısını bu iki temel form cinsinden yazarsak, şunu elde ederiz:

p=x^2+5y^2 \Longleftrightarrow p=5 \text{ veya } p=1,9\pmod{20},

p=2x^2 + 2xy + 3y^2 \Longleftrightarrow p=2 \text{ veya } p=3,7\pmod{20}.

Burada ortaya çıkan 1,3,7,9 sayıları aslında \left(\frac{-5}{p}\right) = 1 eşitliğini sağlayan asal sayıların 20 modunda girdiği denklik sınıflarıdır. Bu sınıfların iki gruba ayrılmasının sebebi ise sınıf saysının iki olmasıdır.

Sınıf saysının gizemi burada bitmiyor. Daha büyük n değerleri için yeni sorular ortaya çıkıyor. Genel problemi çözmek için, işe \left(\frac{-n}{p}\right) = 1 eşitliğini sağlayan asalları bularak başlıyoruz. Bulduğumuz bu asalları, sınıf sayısı kadar değişik parçaya ayırmamız gerekiyor. Ama nasıl?

Bunun cevabını Hilbert veriyor. Verilen bir n değeri için, bir f_n(t) polinomu (derececi sınıf sayısı olan) bu asalları sınıflandırmamız sağlıyor. Mesela n=14 için f_{14}(t) = (t^2+1)^2 - 8 polinomu, K=\mathbb{Q}(\sqrt{-14}) cisminin Hilbert genişlemesini veren bir polinomdur ve

Teorem: Eğer p \neq 2,7 bir asalsa, o zaman p=x^2+14y^2 ancak ve ancak \left(\frac{-14}{p}\right) = 1 ve bir tamsayı t için f_{14}(t) = 0 \pmod{p} ise sağlanır.

İkinci derece formlar ve ikinci derece sayı cisimleri K=\mathbb{Q}(\sqrt{-n}) arasında doğal bir bağlantı vardır. Sayılar halkası \mathcal{O}_K bir Dedekind bölgesidir ve idealleri bir sınıf grubu oluşturur. Bu grubun eleman sayısı, ikinci derece temel formların sayısıyla aynıdır.

Bahsettiklerimizin dışında daha bir çok matematikçi, Dirichlet, Kronecker, Kummer, vb… bu konuda kafa yormuştur ve önemli katkılarda bulunmuştur. Sınıf sayısı bu katkılara rağmen hala gizemini korumaktadır.

Reklamlar
Bu yazı Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , , , , , , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s