Euler’in Şanslı Sayıları

Sabit olmayan, tam sayı katsayılı bir S(k) polinomunun devamlı asal değerler alması mümkün değildir. Bunu göstermek için aksini varsayalım. O zaman S(1)=p asal olacaktır. Kolayca görülebilir ki S(p+1) tamsayısı p tarafından bölünür. Bu yüzden S(p+1)=p olmalıdır. Benzer şekilde bütün m tamsayıları için S(pm+1)=p olmalıdır. Ama bu ancak S(k)=p sabit olduğunda mümkündür.

Soru: Bütün tamsayılar için asal sayı üreten tek değişkenli bir polinom bulamasak da, geniş aralıklar üzerinde asallar üretebilen polinomlar var mıdır?

Euler’in keşfettiği T(k) = k^2 - k + 41 polinomu [1,40] aralığında asal değerler alır. Bu sayılara her ne kadar Euler’in şanslı sayıları dense de, bu polinomum bu kadar “geniş” bir aralıkta asal değerler alması şans değildir.

Teorem: Eğer 1 \leq k \leq 40 tamsayı ise, o zaman k^2 - k + 41 asaldır.

Bu teoremi ispatlamak için bütün değerleri tek tek denemek yetecektir. Ama biz daha genel bir ispat verip, benzer polinomlar bulabilir miyiz ona bakacağız.

Diyelim ki K=\mathbb{Q}(\sqrt{-163}) olsun. Baş katsayısı bir olan tamsayı katsayılı bir polinomu sağlayan elemanlara integral elemanlar denir. Örneğin

w = (\sqrt{-163}-1)/2

elemanı f(x) = x^2 + x + 41 polinomunu sağlar ve dolayısıyla K cisminin integral bir elemanıdır. Bu tür elemanlar K cisminin özel bir alt halkası oluşturur ve bu halka \mathcal{O}_K = \{ a + bw : a,b\in\mathbb{Z} \} şeklindedir. Verilen bir aw+b elemanı için, o elemanın norm’unu aşağıdaki gibi tanımlayalım:

N(a+bw) = (a+bw) \cdot ( a+b\overline{w} ) = a^2 - ab + 41b^2

Şimdi k^2 - k + 41 sayısının 1 \leq k \leq 40 için asal olmadığını varsayalım. O zaman N(k+w) tamsayısı da asal olmayacaktır. Diğer taraftan 41 \leq N(k+w) < 41^2 olmalıdır. Dolayısıyla 41‘ten küçük bir p asal sayısı vardır ve bu asal N(k+w)‘yi böler.

Şimdi p ve k+w elemanlarının \mathcal{O}_K içinde gerdiği I=\langle p, k+w \rangle idealini düşünelim. Bu idealin normu \mathcal{O}_K / I kümesindeki eleman sayısıdır ve p‘dir. Diğer taraftan \mathcal{O}_K halkasında her ideal tek bir eleman tarafından gerilir ve I=\langle a+bw \rangle olmalıdır. Buradan a^2 - ab + 41b^2 = p olması gerektiğini buluruz. Ancak hiçbir tamsayı değeri a ve b, 41‘ten ufak bir asal veremez. O yüzden başta yaptığımız varsayım yanlıştır ve k^2 - k + 41 asal olmalıdır.

Verdiğimiz ispattaki temel noktalardan biri \mathcal{O}_K halkasında her idealin tek bir eleman tarafından gerilmesidir. Bu da ancak sayı cisminin, sınıf sayısının bir olması durumunda mümkündür.

Heegner ve Stark’ın gösterdiği gibi, sınıf sayısı bir olan 9 tane ikinci derece kompleks sayı cismi \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) vardır. Bu cisimlerden birini veren en büyük değer d=163‘tür ve karşılık gelen polinom sayesinde Euler’in şanslı sayılarını buluruz.

Bir diğer değer d=67‘tir ve buna karşılık gelen polinom k^2 - k +17 olur. Benzer şekilde bu polinoma birden onaltıya kadar tam sayılar koyunca asal sayılar bulacağımıza emin olabiliriz.

Reklamlar
Bu yazı Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s