Bernoulli Sayıları

Ardışık tamsayıların (ve kuvvetlerinin) toplamını bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz:

1+2+\ldots+(n-1) = \frac{n(n-1)}{2},

1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6},

1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3 = \frac{n^2(n-1)^2}{4}.

Bu eşitliklerin farkına varan Jacob Bernoulli (1654-1705), diğer kuvvetler için de geçerli olacak formüller aramaya koyulmuştur. Bu çabası meyvesini vermiş, sadece soruyu cevaplamakla kalmamış bunun yanında adını taşıyacak rakamları keşfetmiştir.

Dizilerin değerlerinin hesaplanmasında önemli tekniklerden birisi rekursif (tekrarlamalı) ifadeler bulmaktır. Örneğin ilk iki Fibonacci sayısı F_1=1, F_2=1 ve F_{n+2}=F_{n+1}+F_n ilişkisi bilindiğinde, herhangi bir Fibonacci sayısı kolaylıkla bulunabilir.

Herhangi bir m doğal sayısı için, aşağıdaki toplamı tanımlayalım:

T_m(n) = 1^m + 2^m + \ldots (n-1)^m.

Fibonacci sayılarına benzer şekilde, T_m polinomları için de bir rekursif bağıntı bulmak mümkündür. Binom açılımından kolay görebiliriz ki

(k+1)^{m+1} - k^{m+1} = 1 + \dbinom{m+1}{1}k + \dbinom{m+1}{2}k^2 + \ldots + \dbinom{m+1}{m}k^m.

Bu eşitlikte k yerine sırasıyla 0,1,2,\ldots,n-1 koyarsak ve alt alta toplarsak, aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

(k+1)^{m+1} = n + \dbinom{m+1}{1}T_1(n) + \dbinom{m+1}{2}T_2(n) + \ldots + \dbinom{m+1}{m}T_m(n).

En başta verdiğimi üç formülden dolayı T_1(n), T_2(n) ve T_3(n) fonksiyonlarının ne olduğunu zaten biliyorduk. Bu fonksiyonları kullanarak en son bulduğumuz eşitlikten T_4(n)‘yi çözmek mümkün olacaktır. Kolayca görülebilir ki T_4(n) derecesi 5 olan bir polinomdur ve en baştaki terimi n^5/5‘tir.

Bütün T_m(n) polinomlarını bu yöntemle bulmak teorik açıdan mümkün olsa da aslında pek pratik değildir. Bernoulli de bu cevaptan tatmin olmamış ve aşağıdaki sonucu elde etmiştir.

Teorem: Herhangi bir m doğal sayısı için,

T_m(n) = \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m \dbinom{m+1}{k} B_k n^{m+1-k}.

Teoremde bahsi geçen B_k sayılarına Bernoulli sayıları denir ve aşağıdaki eşitlikten değerleri hesaplanabilir:

\frac{x}{e^x-1} = \sum_{k=0}^\infty B_k\frac{x^k}{k!}

Birkaç örnek vermek gerekirse:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline  B_k & 1 & -1/2 & 1/6 & 0 & -1/30 & 0 & 1/42\\ \hline \end{array}

Mesela bu teoremi kullanarak T_2(n)‘yi hesaplamak isteseydik, aşağıdaki polinomu bulacaktık:

T_2(n) = \frac{1}{3} [ (1)(1)n^3 + (3)(-1/2 )n^2 + (3)(1/6)n ].

Bu da en başta verdiğimiz n(n-1)(2n-1)/6 polinomu ile aynıdır. Bu teoremin çok kısa ve basit bir ispatı var. Oturup kendi başınıza yazmayı deneyebilirsiniz. İspatı görmek isteyenler Ireland ve Rosen’in sayılar teorisi kitabına bakabilir.

Not: Bernoulli sayıları hakkında daha fazlasını öğrenmek isteyenler Graham-Knuth-Patashnik’in Concrete Mathematics adlı kitabını okuyabilirler. Ayhan Dil Hocamıza bu kitabı önerdiği ve bloğu tanıttığı için teşekkürler.

Reklamlar
Bu yazı Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s