Topolojik Entropi

Topolojik entropi bir fonksiyonun ne kadar karmaşık olduğunu ölçmeye yarayan sayıdır.

Esas tanımını vermeden önce, şöyle bir fikir sahibi olmaya çalışalım:

Öncelikle, karmaşık bir fonksiyon denince aklımıza gelmesi gereken şey, herhangi iki farklı noktanın bu fonksiyon altında görüntülerini aldığımızda bu noktaların birbirinden daha da uzaklaşmasıdır. Yani karmaşık fonksiyonlar noktaları birbirinden ayırmaya çalışır. Mesela kaotik fonksiyonlar buna bir örnektir (bkz. Garip Çekiciler).

Farzedelim ki, düzlemde gördüğümüz iki farklı noktayı ancak aralarındaki uzaklık \epsilon‘dan fazla ise ayırt edebiliyoruz (tıpkı belli bir çözünürlükteki TV’de iki noktayı birbirinden ayırmak gibi). Bu iki noktanın bir f fonksiyonu altında n defa iterasyonunu alalım ve bunlara yörünge diyelim. Bu iki yörüngeyi birbirinden ayırt edebilmemiz için bunların herhangi bir m iterasyonunda (m \leq n) birbirinden \epsilon kadar ayrılmış olması gerekir. Birbirinden bu şekilde n adımda ayırt edebileceğimiz maksimum yörünge sayısına r(n,\epsilon, f) diyelim. O zaman f fonksiyonunun \epsilon çözünürlükteki entropisi, yani h(\epsilon,f), r(n,\epsilon, f)‘in n sonsuza giderkenki ‘büyüme hızı’dır (büyüme hızının tanımı aşağıda). f fonksiyonunun topolojik entropisi ise h(\epsilon,f)‘in \epsilon sıfıra giderkenki limitidir (yani çözünürlük mükemmelleşirken). Dolayısıyla entropisi yüksek fonksiyonlar, noktaları birbirinden daha ‘hızlı’ bir şekilde ayırır.

Şimdi matematiksel tanımına gelirsek:

Kompakt bir metrik uzayında, (X,d), sürekli bir f:X\to X fonksiyonumuz olsun. Birbirinden farklı x,y \in X noktalarının n defa iterasyonlarını alalım. Bu iki noktayı \epsilon kadar ayıran  bir m \in \{0,1,\ldots,n-1\} iterasyonu varsa, yani d(f^m(x), f^m(y)) > \epsilon, o zaman bu iki noktaya (n,\epsilon)-ayrık diyelim. Eğer bir U\subset X kümesinin tüm ikişerli elemanları (n,\epsilon)-ayrık ise U kümesine (n,\epsilon)-ayrık U kümesi diyelim.

Şimdi X‘in alt kümelerinden eleman sayısı maksimum olan (n,\epsilon)-ayrık kümesi U‘nun eleman sayısı r(n,\epsilon,f) olsun. X kompakt olduğundan bu sayı sınırlıdır. Öncelikle bu sayının n sonsuza giderkenki büyüme hızını tanımlayalım:

h(\epsilon, f) = \displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(r(n,\epsilon,f))}{n}.

Buradaki logaritmayı doğal logaritma olarak alabiliriz.

O zaman f fonksiyonunun topolojik entropisi, yani h(f), \epsilon sıfıra yaklaşırkenki büyüme hızıdır:

h(f)=\displaystyle\lim_{\epsilon\to 0} h(\epsilon, f).

Örnek: f:[0,1]\to [0,1], f(x)=2x mod(1) fonksiyonunu alalım. [0,1] aralığını çemberle eşleştirirseniz, f fonksiyonu sürekli olarak düşünülebilir. Görüleceği üzre, f fonksiyonu [0,1] aralığında birbirine yakın iki nokta arasındaki uzaklığı her iterasyonda ikiye katlıyor. Şimdi \epsilon = \frac{1}{2^k} olsun.  f‘in n‘inci iterasyonu f^n(x) =2^nx mod(1) olacaktır. Aradığımız (n,\epsilon)-ayrık U kümesi, [0,1] arasında eşit aralıklarla oturan noktalardır. Biraz düşünmeyle U kümesinin maksimum eleman sayısının r(n,\epsilon,f)= 2^n\cdot 2^k olduğunu görebilirsiniz. O zaman:

h(\epsilon, f) = \displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(2^n\cdot 2^k)}{n}=\displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(2^k)}{n} + \displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(2^n)}{n} = log2 olur.

Dolayısıyla, fonksiyonumuzun topolojik entropisi de:

h(f) = \displaystyle\lim_{\epsilon\to 0} h(\epsilon, f) = \displaystyle\lim_{k\to \infty} log2 = log2 olur.

Peki m>1 doğal sayı olmak üzre f(x)=mx mod(1) fonksiyonunun topolojik entropisini tahmin edebilir misiniz?

Reklamlar
Bu yazı Dinamik Sistemler içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s