Diskriminant

İkinci derece bir polinomun tekrarlayan kökü olup olmadığını anlamak için kullanılabilecek değişmezlerden (invariant) birisi diskriminanttır. Eğer f(x)=ax^2+bx+c ise bu polinomun diskriminantı \Delta_f = b^2 - 4ac olacaktır ve f(x) polinomunun tekrarlayan bir kökü ancak ve ancak \Delta_f = 0 olması durumunda mümkündür.

Buna benzer şekilde üçüncü derece f(x)=ax^3+bx^2+cx+d polinomu için benzer bir değişmez \Delta_f bulmaya çalışalım. Bulacağımız bu değişmezin  ancak ve ancak f(x)‘in tekrarlayan bir kökü olduğunda sıfır olmasını istiyoruz. Bunun için ilk adım olarak f(x) polinomunu x_1,x_2 ve x_3 kompleks sayılarını kullanarak çarpanlarına ayırıyoruz:

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).

Sadece tekrarlayan kök durumunda sıfır verecek (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) çarpımını kullanabiliriz. Yalnız bu çarpımın değeri x_i‘lerin yer değiştirmesi halinde değişecektir. Yani bu çarpım iyi-tanımlanmış değildir (not well-defined). Bu problemden kurtulmak için her terimin karesini almak yeterli olacaktır:

\Delta_f = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.

Şimdi bu \Delta_f değişmezini a,b,c,d cinsinden yazabilir miyiz ona bakalım. Bunu yapmanın elemanter (ama işlemsel olarak ağır) bir yöntemi

x_1 + x_2 + x_3 = -b/a,

x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = c/a,

x_1 x_2 x_3 = -d/a,

eşitliklerini kullanarak

\Delta_f = b^2c^2 - 4c^2 - 4b^3d -27d^2 +18bcd

bulmaktır.

Benzer bir değişmezi yüksek derecede polinomlar için yazmak da mümkün olacaktır. Derecesi n olan bir f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i) polinomu için, diskriminantın tanımı aşağıdaki gibdir:

\Delta_f = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n} (x_i-x_j)^2.

Tanımdan da kolayca görüleceği gibi verilen polinomun tekrarlayan bir kökü ancak ve ancak \Delta_f=0 olduğunda mümkün olacaktır. Diğer bir taraftan bu değişmezi yazmak (katsayılar cinsinden), polinomun derecesi arttıkça zorlaşacaktır. Derecesi n olan bir polinomun diskriminantı \Delta_f‘i yazmak için gereken terim sayısı \# T aşağıdaki gibidir:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline  \#T & 2 & 5 & 16 & 59 & 246\\ \hline \end{array}.

Diğer taraftan bazı özel polinomlar için basit ifadeler elde etmek mümkündür. Örneğin f(x)=x^{10} +ax+b polinomunun tekrarlayan bir kökü ancak ve ancak \Delta_f = 9^9 a^{10} - 10^{10} b^9 = 0 olması durumunda vardır.

Reklamlar
Bu yazı Cisimler Teorisi içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

2 Responses to Diskriminant

  1. Kenan dedi ki:

    Teşekkürler. Çok faydalı oldu. Özellikle interneti altını üstüne getirmeme rağmen sizinki gibi kısa ve anlamlı bir yazı bulamadım. Tekrar teşekkürler.

  2. mehmet ucar dedi ki:

    Teşekkür ederim Çok Yardımcı oldunuz.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s