Asal Sayılar ve Topoloji

Asal sayıların sonsuz olduğunu ispatlamanın çeşitli yolları var. Riemann zeta fonksiyonun analitik özelliklerini kullanarak bunun bir ispatını (bkz. Asal sayıların sonsuzluğu) daha önce vermiştik.

Temel topolojik fikirleri kullanarak da sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu göstermek mümkündür. Bunu yapmak için Fürstenberg’in fikrini kullanalım ve tam sayılar kümesi \mathbb{Z} üzerinde bir  topoloji tanımlayalım. Sıfırdan farklı her a tamsayısı için S(a,b) kümesi aşağıdaki gibi olsun

S(a,b) = a\mathbb{Z} + b = \{an+b:n\in\mathbb{Z}\}.

Boş küme \emptyset ve S(a,b)‘lerin birleşimleri açık kümelerimiz olsun. Bu tanımdan yola çıkarak kolayca görürüz ki:

  • \mathbb{Z} = S(1,0) ve \emptyset açık kümelerdir.
  • Açık kümelerin birleşimi açık bir kümedir.
  • İki açık kümenin kesişimi U_1 \cap U_2 açık bir kümedir. Bunu görmek için U_1 \cap U_2 kesişim kümesinde bir x elemanı alalım. O zaman S(a_1, x) \subset U_1 ve S(a_2, x) \subset U_2 alt kümeleri vardır. Eğer a=\textnormal{OKEK}(a_1,a_2) dersek, x \in S(a_1, x) \cap S(a_2, x) = S(a,x) olur.

Dolayısıyla topolojik aksiyomların her biri sağlanmış oluyor.

Bu sayı teorik topolojinin sağladığı ilginç özellikler var. Örneğin hiçbir açık küme (boş olmayan) sonlu sayıda eleman içermiyor. Diğer bir deyişle sonlu bir kümenin tamamlayanı (complement) hiçbir zaman kapalı olmuyor. Bir diğer özellik ise her S(a,b) kümesinin hem açık hem de kapalı olmasıdır.

Şimdi bu iki özelliği kullanarak sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu gösterelim. Bütün p asal sayıları için S(p,0)\ kümelerinin birleşimini düşünürsek, sadece -1 ve 1 dışarıda kalacaktır. Yani

\{-1,1\}^c = \bigcup S(p,0)

olur. Eğer sonlu sayıda asal olsaydı, sonlu sayıda kapalı kümenin bileşkesi olduğundan, sağ taraf kapalı olacaktı. Ama biz sol tarafın kapalı olmadığını biliyoruz çünkü \{-1,1\} sonlu bir küme. O yüzden sonsuz çoklukta asal sayı olmalıdır.

Reklamlar
Bu yazı Sayılar Teorisi, Topoloji içinde yayınlandı ve , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s