Normal Sayılar

Bir reel sayının belirli bir tabanda yazılışında basamak dizileri eşit şekilde (uniform) ortaya çıkıyorsa o reel sayıya o tabanda normal denir.

Mesela pi sayısının ondalık tabanda yazılışı

\pi = 3.14159265358979323846264338327950288419...

diye başlar ve devam eder. Pi sayısının normal olduğuna inanılmaktadır. Diğer bir deyişle herhangi bir basamağın pi sayısının ilk n basamağında  aşağı yukarı n/10 kere olacağını bekleriz. Benzer şekilde pi sayısının basamaklarında dört basamaklı 2012 dizisine bakarsak, pi sayısının normal olması bize 1/10000 oranında 2012 dizisini göreceğimiz söyler.

Her ne kadar pi sayısının hernagi bir tabanda yazıldığında normal olup olmadığı bilinmese de, onluk tabanda normalliği kanıtlanmış bazı sayılar var. Bunlardan en ünlüsü belki de Champernowne sabiti olarak  geçen aşağıdaki sayı

0.123456789010111213141516171819202122...

Tahmin edilebileceği gibi bu sayı doğal sayıların yan yana dizilmesiyle oluşmuştur. Bu sayının onluk tabanda normal olduğu 1933 yılında o sırada Cambridge’de bir lisans öğrencisi olan Champernowne tarafından  gösterilmiştir. Aynı makalede Champernowne asal sayıların arka arkaya yazılmasıyla oluşan

0.235711131719232931374143475359616771...

sayısının da onluk tabanda normal olduğu iddia etmiştir. Copeland ve Erdös asal sayıların dağılımının asimptotik olarak x/\log(x) fonksiyonu tarafından verildiğini kullanarak bahsi geçen sayının onluk tabanda normal olduğunu göstermişlerdir, bakınız Copeland ve Erdös Sabiti.

Peki ya sadece onluk tabanda değil de yazıldığında her tabanda normal olan sayılar var mı? Bu sorunun cevabı evet! Aslında rastgele bir reel sayı aldığınızda bunun bütün tabanlarda normal olması gerekiyor. Çünkü bu özelliği sağlamayan sayıların oluşturduğu kümenin Lebesgue ölçüsü sıfır! Her ne kadar bu tür sayıların var olduğunu biliyorsak da, henüz basamaklarını açık bir şekilde yazabileceğimiz bir tane oluşturmak mümkün olmamıştır.

Not: Bu konuya dikkatimi çeken Cem Tezer hocamıza teşekkür ederim.

Reklamlar
Bu yazı Analiz, Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

2 Responses to Normal Sayılar

  1. Rasyonel sayılar, normal sayılar mıdır ?, Yoksa sadece irrasyonel sayılar için mi geçerli ?

    • kucuksakalli dedi ki:

      Rayonel sayilar hangi tabanda yazilirsa yazilsin, bir yerden sonra tekrar edecegi icin normal degildir.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s