Newton Metodu

Hesap makinesiyle oynanabilecek çeşitli oyunlar vardır. Mesela “LEBLEBI” veya ” ZELZELE” yazmayı bilmeyenemiz yoktur sanırım. En azından 80’lerde çocuk olanlar için bu böyle… Eğer biraz da matematiğe düşkünseniz oynanabilecek oyunların sayısı artar. En kısa yoldan hata verdirme. İki sayıyı çarpıp “111111111” elde etme, vs. gibi.

Bir diğer ilginç oyun irrasyonel sayıların yakın değerlerini bulmak olabilir. Tam kare olmayan bir n tamsayısı aldığınızda, acaba kareköküne yakın bir değer nasıl bulursunuz? Örneğin karekök 2 sayısının virgülden sonraki ilk bamağını bulmak için 14*14=196 ve 15*15=225 çarpımlarına bakmak yeterli olacaktır. İşi bir basamak ileri görürüp 141*141=19881 ve 142*142=20164 çarpımları kullanılarak virgülden sonraki iki basamak bulunabilir.

Elbette bu metodun bir sınırı var. Virgülden sonra yuzlerce basamak lazım olsa bu yöntemi izlemek fazlasıyla ilkel olurdu. Defalarca tamsayı kareleri hesaplamak, bu kareler 200, 20000, … sayılarından küçük mü değil mi kontrol etmek. İlkel olduğu kadar bir o kadar da sıkıcı!

Halbuki polinomların köklerini , bu durumda f(x)=x^2-2, istediğimiz hassasiyet ile bulmak için harika yöntem var. Bu yöntemin adı onu geliştiren Newton’dan geliyor. Metod şu şekilde işliyor. Karekök 2’ye yakın olduğunu düşündüğünüz bir sayı belirleyin, mesela x_0 = 1.5 olsun. Daha sonra gelen sayıları ise şu şekilde tanımlıyoruz:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.

Bu şekilde hesapladığımızda aşağıdaki değerleri elde ediyoruz:

x_0 = 1.5000000000000000000

x_1 = 1.4166666666666666666,

x_2 = 1.4142156862745098039,

x_3 = 1.4142135623746899106,

x_4 = 1.4142135623730950488.

Şaşırtıcı gelebilir ama kök iki sayısına bu hassasiyette olabilecek en yakın rasyonel sayı x_4‘tür. İnanmıyorsanız hesap makinesiyle kontrol edebilirsiniz!

Matematik böyle anlarda gerçekten insanı kendisine hayran bırakıyor. Basitçe tanımlanan yukardaki formül, böylesine güçlü bir hesaplama aracına dönüşüveriyor.

Bu güçlü aracın arkasında Newton’un harika bir fikri var. y=x^2-2 eğrisi üzerinde (\sqrt{2},0) noktasına yakın bir nokta alıyor, örneğin (x_0,x_0^2-2) noktası. Daha sonra bu noktadan geçen teğet doğrusunun x-eksenini kestiği x_1 noktasını buluyor.  Daha sonra (x_1,x_1^2-2) noktasından geçen teğetin x-eksenini kestiği nokta x_2 olarak bulunuyor. Ve bu yöntem çok çabuk bir şekilde karekök iki noktasına doğru yaklaşan x_n rasyonel sayılarını veriyor.

Bir diğer taraftan bu metod sihirli bir değnek gibi her durumda bizi çözüme ulaştırmıyor. Örneğin sonlu bir cisimde (ve bu cismin cebirsel kapanışında) karekök bulmak her zaman kolay olmamaktadır. Örneğin bu konuda Schoof’un ünlü bir algoritması (Schoof’s Algorithm) var.

Sonlu cisimler için karekök hesabında Newton’un metodu kadar verimli bir algoritma bulabilirseniz, adınızı matematik tarihinin sayflarına altın harflerle yazabileceğine emin olabilirsiniz. Zira bu ayrık logaritma sorusuna da bir cevap bulduğunuz anlamına gelecektir. Ayrık logaritma sorusundan bir sonraki yazımızda bahsetmeyi planlıyoruz…

Reklamlar
Bu yazı Analiz içinde yayınlandı ve , , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

2 Responses to Newton Metodu

  1. mesut dedi ki:

    en yukarıdaki eşitlik Newton-Raphson metodu değilmi ?:)

  2. mesut dedi ki:

    özür dilerim görmemişim yazıyormuş paragrafın içinde 😦

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s