Diskriminant

İkinci derece bir polinomun tekrarlayan kökü olup olmadığını anlamak için kullanılabilecek değişmezlerden (invariant) birisi diskriminanttır. Eğer f(x)=ax^2+bx+c ise bu polinomun diskriminantı \Delta_f = b^2 - 4ac olacaktır ve f(x) polinomunun tekrarlayan bir kökü ancak ve ancak \Delta_f = 0 olması durumunda mümkündür.

Buna benzer şekilde üçüncü derece f(x)=ax^3+bx^2+cx+d polinomu için benzer bir değişmez \Delta_f bulmaya çalışalım. Bulacağımız bu değişmezin  ancak ve ancak f(x)‘in tekrarlayan bir kökü olduğunda sıfır olmasını istiyoruz. Bunun için ilk adım olarak f(x) polinomunu x_1,x_2 ve x_3 kompleks sayılarını kullanarak çarpanlarına ayırıyoruz:

f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3).

Sadece tekrarlayan kök durumunda sıfır verecek (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) çarpımını kullanabiliriz. Yalnız bu çarpımın değeri x_i‘lerin yer değiştirmesi halinde değişecektir. Yani bu çarpım iyi-tanımlanmış değildir (not well-defined). Bu problemden kurtulmak için her terimin karesini almak yeterli olacaktır:

\Delta_f = (x_1-x_2)^2(x_1-x_3)^2(x_2-x_3)^2.

Şimdi bu \Delta_f değişmezini a,b,c,d cinsinden yazabilir miyiz ona bakalım. Bunu yapmanın elemanter (ama işlemsel olarak ağır) bir yöntemi

x_1 + x_2 + x_3 = -b/a,

x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = c/a,

x_1 x_2 x_3 = -d/a,

eşitliklerini kullanarak

\Delta_f = b^2c^2 - 4c^2 - 4b^3d -27d^2 +18bcd

bulmaktır.

Benzer bir değişmezi yüksek derecede polinomlar için yazmak da mümkün olacaktır. Derecesi n olan bir f(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i) polinomu için, diskriminantın tanımı aşağıdaki gibdir:

\Delta_f = \prod_{1 \leq i \leq j \leq n} (x_i-x_j)^2.

Tanımdan da kolayca görüleceği gibi verilen polinomun tekrarlayan bir kökü ancak ve ancak \Delta_f=0 olduğunda mümkün olacaktır. Diğer bir taraftan bu değişmezi yazmak (katsayılar cinsinden), polinomun derecesi arttıkça zorlaşacaktır. Derecesi n olan bir polinomun diskriminantı \Delta_f‘i yazmak için gereken terim sayısı \# T aşağıdaki gibidir:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 2 & 3 & 4 & 5 & 6\\ \hline  \#T & 2 & 5 & 16 & 59 & 246\\ \hline \end{array}.

Diğer taraftan bazı özel polinomlar için basit ifadeler elde etmek mümkündür. Örneğin f(x)=x^{10} +ax+b polinomunun tekrarlayan bir kökü ancak ve ancak \Delta_f = 9^9 a^{10} - 10^{10} b^9 = 0 olması durumunda vardır.

Reklamlar
Cisimler Teorisi içinde yayınlandı | , , , ile etiketlendi | 2 Yorum

Topolojik Entropi

Topolojik entropi bir fonksiyonun ne kadar karmaşık olduğunu ölçmeye yarayan sayıdır.

Esas tanımını vermeden önce, şöyle bir fikir sahibi olmaya çalışalım:

Öncelikle, karmaşık bir fonksiyon denince aklımıza gelmesi gereken şey, herhangi iki farklı noktanın bu fonksiyon altında görüntülerini aldığımızda bu noktaların birbirinden daha da uzaklaşmasıdır. Yani karmaşık fonksiyonlar noktaları birbirinden ayırmaya çalışır. Mesela kaotik fonksiyonlar buna bir örnektir (bkz. Garip Çekiciler).

Farzedelim ki, düzlemde gördüğümüz iki farklı noktayı ancak aralarındaki uzaklık \epsilon‘dan fazla ise ayırt edebiliyoruz (tıpkı belli bir çözünürlükteki TV’de iki noktayı birbirinden ayırmak gibi). Bu iki noktanın bir f fonksiyonu altında n defa iterasyonunu alalım ve bunlara yörünge diyelim. Bu iki yörüngeyi birbirinden ayırt edebilmemiz için bunların herhangi bir m iterasyonunda (m \leq n) birbirinden \epsilon kadar ayrılmış olması gerekir. Birbirinden bu şekilde n adımda ayırt edebileceğimiz maksimum yörünge sayısına r(n,\epsilon, f) diyelim. O zaman f fonksiyonunun \epsilon çözünürlükteki entropisi, yani h(\epsilon,f), r(n,\epsilon, f)‘in n sonsuza giderkenki ‘büyüme hızı’dır (büyüme hızının tanımı aşağıda). f fonksiyonunun topolojik entropisi ise h(\epsilon,f)‘in \epsilon sıfıra giderkenki limitidir (yani çözünürlük mükemmelleşirken). Dolayısıyla entropisi yüksek fonksiyonlar, noktaları birbirinden daha ‘hızlı’ bir şekilde ayırır.

Şimdi matematiksel tanımına gelirsek:

Kompakt bir metrik uzayında, (X,d), sürekli bir f:X\to X fonksiyonumuz olsun. Birbirinden farklı x,y \in X noktalarının n defa iterasyonlarını alalım. Bu iki noktayı \epsilon kadar ayıran  bir m \in \{0,1,\ldots,n-1\} iterasyonu varsa, yani d(f^m(x), f^m(y)) > \epsilon, o zaman bu iki noktaya (n,\epsilon)-ayrık diyelim. Eğer bir U\subset X kümesinin tüm ikişerli elemanları (n,\epsilon)-ayrık ise U kümesine (n,\epsilon)-ayrık U kümesi diyelim.

Şimdi X‘in alt kümelerinden eleman sayısı maksimum olan (n,\epsilon)-ayrık kümesi U‘nun eleman sayısı r(n,\epsilon,f) olsun. X kompakt olduğundan bu sayı sınırlıdır. Öncelikle bu sayının n sonsuza giderkenki büyüme hızını tanımlayalım:

h(\epsilon, f) = \displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(r(n,\epsilon,f))}{n}.

Buradaki logaritmayı doğal logaritma olarak alabiliriz.

O zaman f fonksiyonunun topolojik entropisi, yani h(f), \epsilon sıfıra yaklaşırkenki büyüme hızıdır:

h(f)=\displaystyle\lim_{\epsilon\to 0} h(\epsilon, f).

Örnek: f:[0,1]\to [0,1], f(x)=2x mod(1) fonksiyonunu alalım. [0,1] aralığını çemberle eşleştirirseniz, f fonksiyonu sürekli olarak düşünülebilir. Görüleceği üzre, f fonksiyonu [0,1] aralığında birbirine yakın iki nokta arasındaki uzaklığı her iterasyonda ikiye katlıyor. Şimdi \epsilon = \frac{1}{2^k} olsun.  f‘in n‘inci iterasyonu f^n(x) =2^nx mod(1) olacaktır. Aradığımız (n,\epsilon)-ayrık U kümesi, [0,1] arasında eşit aralıklarla oturan noktalardır. Biraz düşünmeyle U kümesinin maksimum eleman sayısının r(n,\epsilon,f)= 2^n\cdot 2^k olduğunu görebilirsiniz. O zaman:

h(\epsilon, f) = \displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(2^n\cdot 2^k)}{n}=\displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(2^k)}{n} + \displaystyle\limsup_{n\to \infty}\dfrac{log(2^n)}{n} = log2 olur.

Dolayısıyla, fonksiyonumuzun topolojik entropisi de:

h(f) = \displaystyle\lim_{\epsilon\to 0} h(\epsilon, f) = \displaystyle\lim_{k\to \infty} log2 = log2 olur.

Peki m>1 doğal sayı olmak üzre f(x)=mx mod(1) fonksiyonunun topolojik entropisini tahmin edebilir misiniz?

Dinamik Sistemler içinde yayınlandı | , , , ile etiketlendi | Yorum bırakın

Bernoulli Sayıları

Ardışık tamsayıların (ve kuvvetlerinin) toplamını bulmak için aşağıdaki formülleri kullanabiliriz:

1+2+\ldots+(n-1) = \frac{n(n-1)}{2},

1^2+2^2+\ldots+(n-1)^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6},

1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3 = \frac{n^2(n-1)^2}{4}.

Bu eşitliklerin farkına varan Jacob Bernoulli (1654-1705), diğer kuvvetler için de geçerli olacak formüller aramaya koyulmuştur. Bu çabası meyvesini vermiş, sadece soruyu cevaplamakla kalmamış bunun yanında adını taşıyacak rakamları keşfetmiştir.

Dizilerin değerlerinin hesaplanmasında önemli tekniklerden birisi rekursif (tekrarlamalı) ifadeler bulmaktır. Örneğin ilk iki Fibonacci sayısı F_1=1, F_2=1 ve F_{n+2}=F_{n+1}+F_n ilişkisi bilindiğinde, herhangi bir Fibonacci sayısı kolaylıkla bulunabilir.

Herhangi bir m doğal sayısı için, aşağıdaki toplamı tanımlayalım:

T_m(n) = 1^m + 2^m + \ldots (n-1)^m.

Fibonacci sayılarına benzer şekilde, T_m polinomları için de bir rekursif bağıntı bulmak mümkündür. Binom açılımından kolay görebiliriz ki

(k+1)^{m+1} - k^{m+1} = 1 + \dbinom{m+1}{1}k + \dbinom{m+1}{2}k^2 + \ldots + \dbinom{m+1}{m}k^m.

Bu eşitlikte k yerine sırasıyla 0,1,2,\ldots,n-1 koyarsak ve alt alta toplarsak, aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

(k+1)^{m+1} = n + \dbinom{m+1}{1}T_1(n) + \dbinom{m+1}{2}T_2(n) + \ldots + \dbinom{m+1}{m}T_m(n).

En başta verdiğimi üç formülden dolayı T_1(n), T_2(n) ve T_3(n) fonksiyonlarının ne olduğunu zaten biliyorduk. Bu fonksiyonları kullanarak en son bulduğumuz eşitlikten T_4(n)‘yi çözmek mümkün olacaktır. Kolayca görülebilir ki T_4(n) derecesi 5 olan bir polinomdur ve en baştaki terimi n^5/5‘tir.

Bütün T_m(n) polinomlarını bu yöntemle bulmak teorik açıdan mümkün olsa da aslında pek pratik değildir. Bernoulli de bu cevaptan tatmin olmamış ve aşağıdaki sonucu elde etmiştir.

Teorem: Herhangi bir m doğal sayısı için,

T_m(n) = \frac{1}{m+1} \sum_{k=0}^m \dbinom{m+1}{k} B_k n^{m+1-k}.

Teoremde bahsi geçen B_k sayılarına Bernoulli sayıları denir ve aşağıdaki eşitlikten değerleri hesaplanabilir:

\frac{x}{e^x-1} = \sum_{k=0}^\infty B_k\frac{x^k}{k!}

Birkaç örnek vermek gerekirse:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline  B_k & 1 & -1/2 & 1/6 & 0 & -1/30 & 0 & 1/42\\ \hline \end{array}

Mesela bu teoremi kullanarak T_2(n)‘yi hesaplamak isteseydik, aşağıdaki polinomu bulacaktık:

T_2(n) = \frac{1}{3} [ (1)(1)n^3 + (3)(-1/2 )n^2 + (3)(1/6)n ].

Bu da en başta verdiğimiz n(n-1)(2n-1)/6 polinomu ile aynıdır. Bu teoremin çok kısa ve basit bir ispatı var. Oturup kendi başınıza yazmayı deneyebilirsiniz. İspatı görmek isteyenler Ireland ve Rosen’in sayılar teorisi kitabına bakabilir.

Not: Bernoulli sayıları hakkında daha fazlasını öğrenmek isteyenler Graham-Knuth-Patashnik’in Concrete Mathematics adlı kitabını okuyabilirler. Ayhan Dil Hocamıza bu kitabı önerdiği ve bloğu tanıttığı için teşekkürler.

Sayılar Teorisi içinde yayınlandı | , , , ile etiketlendi | Yorum bırakın

Pi Sayısı

İki hafta kadar önce Anadolu Ajansı “Pi Sayısı yanlış mı hesaplandı?” diye bir haber geçti. Haberi ilk gördüğümde Zaytung haberlerine benzer bir tat yakalamaya çalıştıklarını sanmıştım. Ama meğerse ciddi(!) bir habermiş.

Anadolu Ajansı’nı arayıp neden hiçbir uzmana sormadan böyle saçma bir haber yaptıklarını sorduğumda, benim karşı tezimi dinyelebileceklerini söylediler. “Biz duvara çamuru attık, siz uzmanlar temizlersiniz artık” durumu. Bilimsel haber yapmak bu kadar ucuz olmamalı.

Bu haberi görünce Türkiye’de ciddi bilimsel çalışma yapmanın ve ardından bunu anlatmanın zorluğunu bir kez daha gördüm. Örneğin Pi’nin basamaklarını araştıran bir matematikçi olsanız, Anadolu Ajansına göre muhatabınız demir çelik sektöründen emekli Bekir Bey olacak. Kabus gibi… Ama bu insanı yıldırmamalı. Güzel örnekler çoğaldıkça, Anadolu Ajansi ve benzeri kuruluşlar yere daha sağlam basacaklar. En azından benim inancım bu…

Pi sayısına dönersek, bu sayı matematikte hep dikkat çekmiş ve çekmeye de devam edecektir. Kesir şeklinde yazılamadığından dolayı, Pi sayısı irrasyoneldir. Virgülden sonraki basamakların bir düzeni olup olmadığı bilinmemektedir. Buna karşılık Pi’nin milyonlarca basamağı hesaplanmıştır. Bu hesaplara internetten kolayca ulaşılabilir. Mesela The Pi-Search Page.

Pi saysını veren en sade ve güzel formüllerden birisi, Leibniz’in basit analiz metodları kullanarak ispatladığı aşağıdaki Leibniz-formülü‘dür

\frac{\pi}{4} = 1-\frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \ldots

Üniversitede analiz dersi almış her öğrencinin, bu eşitliğin ispatını bilme şansı vardır. Pi’nin yaklaşık değerini bu toplamadan hesaplamak pek akıl karı değildir. Zira oldukça yavaş yakınsayan bir seridir. Ama yine de bu basit formül kullanılarak Bekir Bey’in iddiasının yanlış olduğu görülebilir.

Popüler Matematik içinde yayınlandı | , , ile etiketlendi | 1 Yorum

Euler’in Şanslı Sayıları

Sabit olmayan, tam sayı katsayılı bir S(k) polinomunun devamlı asal değerler alması mümkün değildir. Bunu göstermek için aksini varsayalım. O zaman S(1)=p asal olacaktır. Kolayca görülebilir ki S(p+1) tamsayısı p tarafından bölünür. Bu yüzden S(p+1)=p olmalıdır. Benzer şekilde bütün m tamsayıları için S(pm+1)=p olmalıdır. Ama bu ancak S(k)=p sabit olduğunda mümkündür.

Soru: Bütün tamsayılar için asal sayı üreten tek değişkenli bir polinom bulamasak da, geniş aralıklar üzerinde asallar üretebilen polinomlar var mıdır?

Euler’in keşfettiği T(k) = k^2 - k + 41 polinomu [1,40] aralığında asal değerler alır. Bu sayılara her ne kadar Euler’in şanslı sayıları dense de, bu polinomum bu kadar “geniş” bir aralıkta asal değerler alması şans değildir.

Teorem: Eğer 1 \leq k \leq 40 tamsayı ise, o zaman k^2 - k + 41 asaldır.

Bu teoremi ispatlamak için bütün değerleri tek tek denemek yetecektir. Ama biz daha genel bir ispat verip, benzer polinomlar bulabilir miyiz ona bakacağız.

Diyelim ki K=\mathbb{Q}(\sqrt{-163}) olsun. Baş katsayısı bir olan tamsayı katsayılı bir polinomu sağlayan elemanlara integral elemanlar denir. Örneğin

w = (\sqrt{-163}-1)/2

elemanı f(x) = x^2 + x + 41 polinomunu sağlar ve dolayısıyla K cisminin integral bir elemanıdır. Bu tür elemanlar K cisminin özel bir alt halkası oluşturur ve bu halka \mathcal{O}_K = \{ a + bw : a,b\in\mathbb{Z} \} şeklindedir. Verilen bir aw+b elemanı için, o elemanın norm’unu aşağıdaki gibi tanımlayalım:

N(a+bw) = (a+bw) \cdot ( a+b\overline{w} ) = a^2 - ab + 41b^2

Şimdi k^2 - k + 41 sayısının 1 \leq k \leq 40 için asal olmadığını varsayalım. O zaman N(k+w) tamsayısı da asal olmayacaktır. Diğer taraftan 41 \leq N(k+w) < 41^2 olmalıdır. Dolayısıyla 41‘ten küçük bir p asal sayısı vardır ve bu asal N(k+w)‘yi böler.

Şimdi p ve k+w elemanlarının \mathcal{O}_K içinde gerdiği I=\langle p, k+w \rangle idealini düşünelim. Bu idealin normu \mathcal{O}_K / I kümesindeki eleman sayısıdır ve p‘dir. Diğer taraftan \mathcal{O}_K halkasında her ideal tek bir eleman tarafından gerilir ve I=\langle a+bw \rangle olmalıdır. Buradan a^2 - ab + 41b^2 = p olması gerektiğini buluruz. Ancak hiçbir tamsayı değeri a ve b, 41‘ten ufak bir asal veremez. O yüzden başta yaptığımız varsayım yanlıştır ve k^2 - k + 41 asal olmalıdır.

Verdiğimiz ispattaki temel noktalardan biri \mathcal{O}_K halkasında her idealin tek bir eleman tarafından gerilmesidir. Bu da ancak sayı cisminin, sınıf sayısının bir olması durumunda mümkündür.

Heegner ve Stark’ın gösterdiği gibi, sınıf sayısı bir olan 9 tane ikinci derece kompleks sayı cismi \mathbb{Q}(\sqrt{-d}) vardır. Bu cisimlerden birini veren en büyük değer d=163‘tür ve karşılık gelen polinom sayesinde Euler’in şanslı sayılarını buluruz.

Bir diğer değer d=67‘tir ve buna karşılık gelen polinom k^2 - k +17 olur. Benzer şekilde bu polinoma birden onaltıya kadar tam sayılar koyunca asal sayılar bulacağımıza emin olabiliriz.

Sayılar Teorisi içinde yayınlandı | , , ile etiketlendi | Yorum bırakın

Sharkovsky Teoremi: Periyot 3, kaosu gerektirir

Günümüzde bilimin her dalında olduğu gibi matematik alanında da bilgiye ulaşmak oldukça kolay. Dünyanın bir köşesindeki matematikçinin ispatladığı bir teorem, gerek yazılı kaynaklar gerekse elektronik ortamdaki hızlı paylaşım sayesinde çok kısa sürede tüm dünyaya yayılabiliyor. Ama bundan 30-40 yıl önce durum pek de böyle değildi.

Dinamik sistemler alanında en çok yankı uyandıran teoremlerden birisi 1975 yılında Li ve Yorke tarafından “periyot 3, kaosu gerektirir” isimli makalede yayımlanmıştır. Bu teoreme göre gerçel sayılar kümesindeki bir aralıkta tanımlı sürekli bir fonksiyonun, f: I \to \mathbb{R}, periyodu 3 olan bir periyodik noktası varsa herhangi bir n\in\mathbb{N} icin periyodu n olan periyodik noktaları da var demektir.

Öncelikle periyodik noktanın ne demek olduğundan bahsedelim. Herhangi bir f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu icin, f^n, n defa bileşke almak anlamına gelsin. Eger öyle bir x\in\mathbb{R} noktası varsa ki, f^n(x)=x ve n bunu sağlayan en küçük doğal sayıysa, o zaman x‘e periyodu n periyodik nokta denir. Mesela, f^3(x)=x ve f^2(x)\neq x ve f(x)\neq x ise o zaman x, f icin, periyodu 3 olan periyodik noktadır.

Li ve Yorke, eğer periyodu 3 olan bir nokta bulursanız o zaman periyodu n\geq 3 olan noktalar da vardır demekte. Sonsuz tane periyodik nokta olması anlamına gelen bu özellik fonksiyonunuzun bir anlamda kaotik olduğunu söyler. Bu kadar güçlü bir teoremin, hele de tek boyutta, yani \mathbb{R}‘de, ortaya çıkması o dönemde pek çok kişiyi şaşırtmış ve kaosa olan ilgiyi önemli ölçüde artırmıştır.

Anlatılanlara gore, bu makalenin yayımlanmasından bir süre sonra Yorke, doğu Almanya’da bir konferansa gider. Bir gün nehir gezisi sırasında Ukraynalı bir matematikçi Yorke’un yanına gelir ve İngilizce bilmemesine rağmen yanlarındaki diğer matematikçilerin tercümeleriyle Yorke’a onun periyodik noktalarla ilgili teoremini kendisinin daha önceden (hem de 10 yıl önce) ispatladığını söyler. Bu Ukraynalı matematikçi Sharkovsky’dir ve o zamana kadar çalışmaları batı dünyası tarafından bilinmemektedir. Sharkovsky, Li ve Yorke’un ispatladığı teoremin daha genel versiyonunu ispatlamıştır. Bunu anlamak için öncelikle doğal sayıların Sharkovsky tarafından verilen sıralamasına bir göz atalım.

Bu sıralamaya göre en büyük doğal sayı 3’tür ve 3’ün ardından diğer tek doğal sayılar gelir. Tek doğal sayılardan sonra bunların 2 ile çarpılmış halleri, 4 ile çarpılmış halleri..vs gelir. Sıralamanın en dibinde de 2’nin kuvvetleri vardır. Yani sıralama büyükten küçüğe doğru şöyledir:

3 \succ 5 \succ 7 \succ \cdots \succ 2\cdot 3 \succ 2 \cdot 5 \succ 2 \cdot 7 \succ \cdots \succ 2^n \cdot 3 \succ 2^n \cdot 5 \succ 2^n \cdot 7 \succ \cdots \succ \cdots \succ 2^k \succ \cdots \succ 2^4 \succ 2^3 \succ 2^2 \succ 2^1 \succ 1

Sharkovsky Teoremi: Eger gerçel sayılarin alt kümesi bir aralıkta tanımlı sürekli bir fonksiyonun yani f: I \to \mathbb{R}‘in, periyodu m olan bir periyodik noktası varsa, o zaman m \succ \ell olmak üzere herhangi bir \ell için de periyodu \ell olan bir periyodik noktası vardır.

Li ve Yorke’un makalesi daha başka önemli konulara değinse de, en ilgi çekici sonuçları Sharkovsky Teoremi’nin özel bir durumu oluyor (m=3 için). Böylece bilim dünyasında iletişimin ne kadar önemli olduğu bir kez daha gün ışığına çıkıyor ve Sharkovsky’nin çalışmaları dünyanın geri kalanı tarafından keşfedilmiş oluyordu.

Kaynaklar:

1) Period Three Implies Chaos; Tien-Yien Li; James A. Yorke, American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 10. (Dec., 1975), pp. 985-992

2) The Sharkovsky Theorem: A Natural Direct Proof; Burns Keith; Hasselblatt Boris, American Mathematical Monthly, Volume 118, Number 3, March 2011 , pp. 229-244(16)

Dinamik Sistemler içinde yayınlandı | , , , , , , ile etiketlendi | Yorum bırakın

Sage

Sage için Python dili üzerine kurulu, farklı matematik yazılımlarını biraraya getiren bir üst-matematik yazılımı denebilir.

Eğer Sage’in neler yapabildiğine göz atmak isterseniz,

www.sagemath.org

sayfasından başlayabilirsiniz.

Sage kullanmanın yollarından biri, Defter (Notebook) arayüzünü kullanmaktır. Sage’in Türkçeleştirimiş Defter arayüzünü denemek, Türkçe’ye uyarlanmış çeşitli kılavuzlara erişmek isterseniz,

http://www.gursey.gov.tr/sage

ya da

http://www.gursey.gov.tr/mediawiki/index.php/Sage

adreslerinden başlayabilirsiniz.

Blog içinde yayınlandı | Yorum bırakın