Garip Çekiciler (strange attractors) ve Kaos Teorisi

Kaos teorisi biraz da popüler filmlerin sayesinde (bkz. Kelebek Etkisi) adını çokça duyduğumuz ve herkesin hakkinda fikir edindiği konulardan. 2008 yılında hayata gözlerini yuman, deterministik kaosun fikir babası Edward Norton Lorenz, “kelebek etkisi” terimini 1972 yılındaki bir konferans konuşmasında ortaya atmıştı. Konuşmanın başlığı şöyleydi: “Brezilya’daki bir kelebeğin kanadını çırpması Texas’da fırtınaya sebep olur mu?”. Bir matematikçi ve aynı zamanda meteorolojist olan Lorenz, atmosfer olaylarını açıklamak için oluşturduğu numerik modeline bir gün 0.506127 yerine 0.506 girince sonuçların çok farklı olduğunu gözlemlemiş ve popüler anlamdaki kaos teorisinin temellerini atmıştı. Başlangıçtaki çok ufak degişikliklerin ilerde çok büyük farklılıklara sebep olması şeklinde özetlenebilecek bu fikri gerçekten anlamak icin biraz matematikten yardım almak gerekiyor.

Ortaokul ya da lise döneminde matematik dersi alan herkes fonksiyonlarin bileşkesini almayı anımsayacaktır. Mesela f(x)=x^2+1 şeklinde bir fonksiyonumuz varsa f\circ f(x)= f^2(x) = (x^2+1)^2 + 1 olur.

1976 yılında bir başka astronom ve matematikçi Michel Henon, Lorenz’in çalışılması zor olan matematiksel modeliyle benzer özellikler taşıyan ama daha basit görünümlü Henon fonksiyonunu ortaya çıkarmıştır. Henon fonksiyonu düzlemde bir nokta alıp onu başka bir noktaya gönderir:

H\left( \begin{array}{ccc} x \\ y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1-1.4x^2+0.3y \\ x \end{array} \right)

Başlangıç noktası olarak (x,y)=(0,0) alalım ve bu noktanın H fonksiyonu altındaki iterasyonlarına bakalım. Mesela H \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) olur. Bu işlemi yeni elde ettiğimiz noktayla bir daha tekrarlayalım: H \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 0 \end{array} \right) = H^2 \left( \begin{array}{ccc} 0 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} -0.4 \\ 1 \end{array} \right). Eğer bu işlemi tekrar etmeye devam ederseniz (belki bir bilgisayar programı yardımıyla) kısa zamanda bulduğunuz noktaların garip bir şekile dönuştüğünün farkına varırsınız. İlk 5000 iterasyonu aşağıdaki şekilde görebilirsiniz:

Aslında (0,0) başlangıç noktasının pek bir önemi yoktur. Yukarıdaki karesel bölgede başlayacağınız pek çok noktanın (çekicinin havzası -basin of attraction) bu garip şekile “çekildiğini” görebilirsiniz. Peki çoğu nokta bu şekile çekiliyorsa o zaman kaos nerededir?

Bu şeklin kendisi kaostur gibi bir açıklama yerine şunu belirtelim: (0,0) yerine (0,0.001) noktasından başlarsanız 5000 iterasyon sonrasında (0,0) noktası çekicinin bir yerinde ama (0,0.001) noktası tamamen başka bir yerinde olacaktır. Yani başlangıç noktasındaki ufak değişiklik bu noktaları ilerde çok farklı yerlere götürecektir ve nereye götüreceğini tahmin etmek mümkün değildir. Henon’un yukarıdaki çekicisi aynı zamanda “garip”tir de çünkü yatay bir kesit alırsanız Kantor kümesi görürsünüz. Bu şekille ilgili hala pekçok cevaplanamayan soru vardır.

Eğer Lorenz’in ilk uğraştığı sistemi merak ediyorsanız o da aşağıda:

Reklamlar
Bu yazı Diferansiyel Denklemler, Dinamik Sistemler içinde yayınlandı ve , , , , , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s