Sharkovsky Teoremi: Periyot 3, kaosu gerektirir

Günümüzde bilimin her dalında olduğu gibi matematik alanında da bilgiye ulaşmak oldukça kolay. Dünyanın bir köşesindeki matematikçinin ispatladığı bir teorem, gerek yazılı kaynaklar gerekse elektronik ortamdaki hızlı paylaşım sayesinde çok kısa sürede tüm dünyaya yayılabiliyor. Ama bundan 30-40 yıl önce durum pek de böyle değildi.

Dinamik sistemler alanında en çok yankı uyandıran teoremlerden birisi 1975 yılında Li ve Yorke tarafından “periyot 3, kaosu gerektirir” isimli makalede yayımlanmıştır. Bu teoreme göre gerçel sayılar kümesindeki bir aralıkta tanımlı sürekli bir fonksiyonun, f: I \to \mathbb{R}, periyodu 3 olan bir periyodik noktası varsa herhangi bir n\in\mathbb{N} icin periyodu n olan periyodik noktaları da var demektir.

Öncelikle periyodik noktanın ne demek olduğundan bahsedelim. Herhangi bir f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} fonksiyonu icin, f^n, n defa bileşke almak anlamına gelsin. Eger öyle bir x\in\mathbb{R} noktası varsa ki, f^n(x)=x ve n bunu sağlayan en küçük doğal sayıysa, o zaman x‘e periyodu n periyodik nokta denir. Mesela, f^3(x)=x ve f^2(x)\neq x ve f(x)\neq x ise o zaman x, f icin, periyodu 3 olan periyodik noktadır.

Li ve Yorke, eğer periyodu 3 olan bir nokta bulursanız o zaman periyodu n\geq 3 olan noktalar da vardır demekte. Sonsuz tane periyodik nokta olması anlamına gelen bu özellik fonksiyonunuzun bir anlamda kaotik olduğunu söyler. Bu kadar güçlü bir teoremin, hele de tek boyutta, yani \mathbb{R}‘de, ortaya çıkması o dönemde pek çok kişiyi şaşırtmış ve kaosa olan ilgiyi önemli ölçüde artırmıştır.

Anlatılanlara gore, bu makalenin yayımlanmasından bir süre sonra Yorke, doğu Almanya’da bir konferansa gider. Bir gün nehir gezisi sırasında Ukraynalı bir matematikçi Yorke’un yanına gelir ve İngilizce bilmemesine rağmen yanlarındaki diğer matematikçilerin tercümeleriyle Yorke’a onun periyodik noktalarla ilgili teoremini kendisinin daha önceden (hem de 10 yıl önce) ispatladığını söyler. Bu Ukraynalı matematikçi Sharkovsky’dir ve o zamana kadar çalışmaları batı dünyası tarafından bilinmemektedir. Sharkovsky, Li ve Yorke’un ispatladığı teoremin daha genel versiyonunu ispatlamıştır. Bunu anlamak için öncelikle doğal sayıların Sharkovsky tarafından verilen sıralamasına bir göz atalım.

Bu sıralamaya göre en büyük doğal sayı 3’tür ve 3’ün ardından diğer tek doğal sayılar gelir. Tek doğal sayılardan sonra bunların 2 ile çarpılmış halleri, 4 ile çarpılmış halleri..vs gelir. Sıralamanın en dibinde de 2’nin kuvvetleri vardır. Yani sıralama büyükten küçüğe doğru şöyledir:

3 \succ 5 \succ 7 \succ \cdots \succ 2\cdot 3 \succ 2 \cdot 5 \succ 2 \cdot 7 \succ \cdots \succ 2^n \cdot 3 \succ 2^n \cdot 5 \succ 2^n \cdot 7 \succ \cdots \succ \cdots \succ 2^k \succ \cdots \succ 2^4 \succ 2^3 \succ 2^2 \succ 2^1 \succ 1

Sharkovsky Teoremi: Eger gerçel sayılarin alt kümesi bir aralıkta tanımlı sürekli bir fonksiyonun yani f: I \to \mathbb{R}‘in, periyodu m olan bir periyodik noktası varsa, o zaman m \succ \ell olmak üzere herhangi bir \ell için de periyodu \ell olan bir periyodik noktası vardır.

Li ve Yorke’un makalesi daha başka önemli konulara değinse de, en ilgi çekici sonuçları Sharkovsky Teoremi’nin özel bir durumu oluyor (m=3 için). Böylece bilim dünyasında iletişimin ne kadar önemli olduğu bir kez daha gün ışığına çıkıyor ve Sharkovsky’nin çalışmaları dünyanın geri kalanı tarafından keşfedilmiş oluyordu.

Kaynaklar:

1) Period Three Implies Chaos; Tien-Yien Li; James A. Yorke, American Mathematical Monthly, Vol. 82, No. 10. (Dec., 1975), pp. 985-992

2) The Sharkovsky Theorem: A Natural Direct Proof; Burns Keith; Hasselblatt Boris, American Mathematical Monthly, Volume 118, Number 3, March 2011 , pp. 229-244(16)

Reklamlar
Bu yazı Dinamik Sistemler içinde yayınlandı ve , , , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s