Asal Sayıların Sonsuzluğu

Posted on 13 Mart 2011 by kucuksakalli

Sonsuz tane asal sayı olduğunun çeşitli ispatları vardır. Bunlardan herhalde en ünlüsü olmayana ergi yöntemiyle Euclid’in verdiği ispattır. Eğer sonlu bir asal sayı listesi

\{p_1, p_2, \ldots, p_r\}

olsaydı, N=p_1 p_2 \cdots p_r +1 sayısı ne asal, ne de bileşik bir sayı olabilecekti.

Asalların sonsuzluğunun bir diğer ispatı, Euler tarafından Riemann zeta fonksiyonu kullanılarak verilmiştir. Bu ünlü fonksiyon s>1 için

\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}

formülüyle tanımlanır. Analiz dersi alan her öğrenci s>1 için bu serinin yakınsak olduğunu bilir. Biraz daha ötesine gidersek, yakınsama düzgün (uniform) olduğu için \zeta(s) fonksiyonu, s>1 için sürekli olur. Hatta s değişkeni 1‘e sağdan yaklaşırken, bu sürekli fonksiyon sonsuza gider.

Aritmetiğin temel teoremi der ki, herhangi bir n pozitif tamsayısı

n = p_1^{m_1} p_2^{m_2} \cdots p_r^{m_r}

şeklinde asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı olarak yazılabilir. Geometrik serilerin toplamından ise şunu biliyoruz:

\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{m=0}^{\infty} {p^{-ms}}

Şimdi \zeta(s) fonksiyonunun s>1 için yakınsıyor olması

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_p \left(\frac{1}{1-p^{-s}}\right)

eşitliğini gerektiriyor. s sayısı 1‘e giderken, sol taraf sonsuza gittiği için, sağ taraf da sonsuza gitmelidir. Bu ancak sağ tarafta sonsuz tane çarpım olduğunda mümkündür. Yani sonsuz tane asal sayı vardır.

Bu ispatın güzelliği Dirichlet’in asal sayı teoremini düşününce daha da belirginleşiyor. Eğer sadece 1,2,3,4,\ldots dizisinde değil de, aralarında asal a, b ile verilen

a, a+b, a+2b, a+3b, \ldots

dizisinde de sonsuz asal olduğunu göstermek isterseniz buna benzer bir fikir kullanmak işe yarayacaktır.

Bu yazı Sayılar Teorisi içinde yayınlandı ve , , , , olarak etiketlendi. Kalıcı bağlantıyı yer imlerinize ekleyin.

Yorum bırakın