Euler’in Şanslı Sayıları

Sabit olmayan, tam sayı katsayılı bir polinomunun devamlı asal değerler alması mümkün değildir. Bunu göstermek için aksini varsayalım. O zaman asal olacaktır. Kolayca görülebilir ki tamsayısı tarafından bölünür. Bu yüzden olmalıdır. Benzer şekilde bütün tamsayıları için olmalıdır. Ama bu ancak sabit olduğunda mümkündür.

Soru: Bütün tamsayılar için asal sayı üreten tek değişkenli bir polinom bulamasak da, geniş aralıklar üzerinde asallar üretebilen polinomlar var mıdır?

Euler’in keşfettiği polinomu aralığında asal değerler alır. Bu sayılara her ne kadar Euler’in şanslı sayıları dense de, bu polinomum bu kadar “geniş” bir aralıkta asal değerler alması şans değildir.

Teorem: Eğer tamsayı ise, o zaman asaldır.

Bu teoremi ispatlamak için bütün değerleri tek tek denemek yetecektir. Ama biz daha genel bir ispat verip, benzer polinomlar bulabilir miyiz ona bakacağız.

Diyelim ki olsun. Baş katsayısı bir olan tamsayı katsayılı bir polinomu sağlayan elemanlara integral elemanlar denir. Örneğin

elemanı polinomunu sağlar ve dolayısıyla cisminin integral bir elemanıdır. Bu tür elemanlar cisminin özel bir alt halkası oluşturur ve bu halka şeklindedir. Verilen bir elemanı için, o elemanın norm’unu aşağıdaki gibi tanımlayalım:

Şimdi sayısının için asal olmadığını varsayalım. O zaman tamsayısı da asal olmayacaktır. Diğer taraftan olmalıdır. Dolayısıyla ‘ten küçük bir asal sayısı vardır ve bu asal ‘yi böler.

Şimdi ve elemanlarının içinde gerdiği idealini düşünelim. Bu idealin normu kümesindeki eleman sayısıdır ve ‘dir. Diğer taraftan halkasında her ideal tek bir eleman tarafından gerilir ve olmalıdır. Buradan olması gerektiğini buluruz. Ancak hiçbir tamsayı değeri ve , ‘ten ufak bir asal veremez. O yüzden başta yaptığımız varsayım yanlıştır ve asal olmalıdır.

Verdiğimiz ispattaki temel noktalardan biri halkasında her idealin tek bir eleman tarafından gerilmesidir. Bu da ancak sayı cisminin, sınıf sayısının bir olması durumunda mümkündür.

Heegner ve Stark’ın gösterdiği gibi, sınıf sayısı bir olan tane ikinci derece kompleks sayı cismi vardır. Bu cisimlerden birini veren en büyük değer ‘tür ve karşılık gelen polinom sayesinde Euler’in şanslı sayılarını buluruz.

Bir diğer değer ‘tir ve buna karşılık gelen polinom olur. Benzer şekilde bu polinoma birden onaltıya kadar tam sayılar koyunca asal sayılar bulacağımıza emin olabiliriz.